等式与不等式的基本性质
这篇文章基本上是基于教材重温小学、初中的知识．
等式的基本性质
对称性：a=b ⟺ b=aa=b \iff b=aa=b⟺b=a．
传递性：a=b,b=c ⟺ a=b=ca=b,b=c \iff a=b=ca=b,b=c⟺a=b=c．
可加性：a=b ⟺ a±c=b±ca=b \iff a\pm c=b\pm ca=b⟺a±c=b±c．
可乘性：a=b ⟹ ac=bca=b \implies ac=bca=b⟹ac=bc．
可除性：a=b,c≠0 ⟹ ac=bca=b,c\ne0 \implies \df ac=\df bca=b,c=0⟹ca=cb．
不等式的基本性质
对称性：a>b ⟺ b
传递性：a>b,b>c ⟹ a>ca>b,b>c \implies a>ca>b,b>c⟹a>c；a 可加性：a>b ⟺ a±c>b±ca>b \iff a\pm c>b\pm ca>b⟺a±c>b±c． 可乘性：a>b,c>0 ⟹ ac>bca>b,c>0 \implies ac>bca>b,c>0⟹ac>bc；a>b,c<0 ⟹ ac 同向可加性：a>b,c>d ⟹ a+c>b+da>b,c>d \implies a+c>b+da>b,c>d⟹a+c>b+d． 同向同正可乘性：a>b>0,c>d>0 ⟹ ac>bda>b>0,c>d>0 \implies ac>bda>b>0,c>d>0⟹ac>bd． 可乘方性：a>b>0,n∈N,n≥2 ⟹ an>bna>b>0,n\in\N,n\ge2 \implies a^n>b^na>b>0,n∈N,n≥2⟹an>bn． 可开方性：a>b>0,n∈N,n≥2 ⟹ an>bna>b>0,n\in\N,n\ge2 \implies \sqrt[n]a>\sqrt[n]ba>b>0,n∈N,n≥2⟹na>nb． 关于应用传递性时能否取等： a≥b,b≥c ⟹ a≥ca\ge b,b\ge c \implies a\ge ca≥b,b≥c⟹a≥c． a≥b,b>c 或 a>b,b≥c ⟹ a>ca\ge b,b>c\ 或\ a>b,b\ge c \implies a>ca≥b,b>c 或 a>b,b≥c⟹a>c． 不等式的性质拓展 有关倒数的性质 a>b,ab>0 ⟹ 1a<1ba>b,ab>0 \implies \df1a<\df1ba>b,ab>0⟹a1 a<0
a>b>0,c>d>0 ⟹ ad>bca>b>0,c>d>0 \implies \df ad>\df bca>b>0,c>d>0⟹da>cb． 0 有关分数的性质 若 a>b>m>0a>b>m>0a>b>m>0，则： 真分数：b−ma−m 假分数：a+mb+m 即真分数越加越大，假分数越加越小．可以用作差法证明． 分式不等式的解法 f(x)g(x)>0(<0) ⟺ f(x)g(x)>0(<0)\df{f(x)}{g(x)}>0(<0)\iff f(x)g(x)>0(<0)g(x)f(x)>0(<0)⟺f(x)g(x)>0(<0)． (f(x))g(x)≥0(≤0) ⟺ {f(x)g(x)≥0(≤0),g(x)≠0.\df(f(x)){g(x)}\ge0(\le0)\iff\bcs f(x)g(x)\ge0(\le0),\\g(x)\ne0.\ecsf((x))g(x)≥0(≤0)⟺{f(x)g(x)≥0(≤0),g(x)=0. 其他性质 a 对于任意 a∈Ra\in\Ra∈R，有 a2≥0a^2\ge0a2≥0，当且仅当 a=0a=0a=0 时等号成立． 对于任意 a,b∈Ra,b\in\Ra,b∈R，有 a2+b2≥2aba^2+b^2\ge2aba2+b2≥2ab，当且仅当 a=ba=ba=b 时等号成立．证明：(a−b)2=a2+b2−2ab≥0(a-b)^2=a^2+b^2-2ab\ge0(a−b)2=a2+b2−2ab≥0，所以 a2+b2≥2aba^2+b^2\ge2aba2+b2≥2ab． 不等式基本性质的有关题型 不等式的基本性质的直接应用 例 1（多选题） 已知 a>b≥2a>b\ge2a>b≥2，则（ ） A. b2<3b−ab^2<3b-ab2<3b−a B. a3+b3>a2b+ab2a^3+b^3>a^2b+ab^2a3+b3>a2b+ab2 C. ab>a+bab>a+bab>a+b D. 12+2ab>1a+1b\df12+\df2{ab}>\df1a+\df1b21+ab2>a1+b1 例 1 解答对于 A，由于 b−a<0b-a<0b−a<0，所以若 A 成立，则 b2−2b 对于 B，作差化简得 (a−b)2(a+b)>0(a-b)^2(a+b)>0(a−b)2(a+b)>0 成立，因此 B 正确． 对于 C，两端除以 ababab 得 1a+1b<1\df1a+\df1b<1a1+b1<1，由于 a>2,b≥2a>2,b\ge2a>2,b≥2，所以 0<1a<12,0<1b≤120<\df1a<\df12,0<\df1b\le\df120 对于 D，作差通分化简得 (a−2)(b−2)2ab>0\df{(a-2)(b-2)}{2ab}>02ab(a−2)(b−2)>0，由于 a>2,b≥2a>2,b\ge2a>2,b≥2，所以 a−2>0,b−2≥0,2ab>0a-2>0,b-2\ge0,2ab>0a−2>0,b−2≥0,2ab>0，所以 (a−2)(b−2)2ab≥0\df{(a-2)(b-2)}{2ab}\ge02ab(a−2)(b−2)≥0，即该式可以等于 000，因此 D 错误． 故选 BC． 对于这种选择题，如果直接证明比较困难，我们可以尝试 代入特殊值 来找反例．如： 例 1 A 选项：代入 a=3,b=2a=3,b=2a=3,b=2 得 b2=4,3b−a=3b^2=4,3b-a=3b2=4,3b−a=3，因此不成立． 例 1 D 选项：代入 a=3,b=2a=3,b=2a=3,b=2 得 12+2ab=1a+1b=56\df12+\df2{ab}=\df1a+\df1b=\df5621+ab2=a1+b1=65，因此不成立． 作差法与作商法比较大小 证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、反证法、同构法、放缩法等．其中同构法与放缩法将在之后提及．下面主要介绍 作差法 与 作商法． 为了将不等式两侧的数或式子移至同一侧，并且使另一侧留下来的数易于比较，我们可以采用作差法或作商法． 作差法是将不等式两侧作差移至同一侧，判断得到的差与 000 的大小关系，从而证明不等式． 作商法是将不等式两侧作商移至同一侧（注意变号），判断得到的商与 111 的大小关系，从而证明不等式． 例 2若 a<0,b<0a<0,b<0a<0,b<0，判断 p=b2a+a2bp=\df{b^2}a+\df{a^2}bp=ab2+ba2 与 q=a+bq=a+bq=a+b 的大小关系． 在答题时，如果所证明的不等式可以取等，一定要说明取等条件． 例 2 解答 1（作差法）p−q=b2a+a2b−a−b=b2−a2a+a2−b2b=(b2−a2)(1a−1b)=(b−a)2(b+a)ab.\bal p-q &=\df{b^2}a+\df{a^2}b-a-b \\ &=\df{b^2-a^2}{a}+\df{a^2-b^2}{b} \\ &=(b^2-a^2)(\df1a-\df1b) \\ &=\df{(b-a)^2(b+a)}{ab}. \ealp−q=ab2+ba2−a−b=ab2−a2+ba2−b2=(b2−a2)(a1−b1)=ab(b−a)2(b+a).因为 a<0,b<0a<0,b<0a<0,b<0，所以 a+b<0,ab>0a+b<0,ab>0a+b<0,ab>0，又 (b−a)2≥0(b-a)^2\ge0(b−a)2≥0，所以 p−q≤0p-q\le0p−q≤0，所以 p≤qp\le qp≤q，当且仅当 a=ba=ba=b 时等号成立． 例 2 解答 2（作商法）首先有 p=a3+b3ab=(a+b)(a2−ab+b2)abp=\df{a^3+b^3}{ab}=\df{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{ab}p=aba3+b3=ab(a+b)(a2−ab+b2)，又 a2+b2≥2aba^2+b^2\ge2aba2+b2≥2ab（参见上文不等式的其他性质），因此 pq=a2−ab+b2ab≥2ab−abab=1,\df pq=\df{a^2-ab+b^2}{ab}\ge\df{2ab-ab}{ab}=1,qp=aba2−ab+b2≥ab2ab−ab=1,当且仅当 a=ba=ba=b 时等号成立．由于 q<0q<0q<0，所以 p≤qp\le qp≤q． 求代数式的取值范围 直接给出一般题型： 例 3已知 m1 例 3 解答（待定系数法）设 g(a,b)=pf1(a,b)+qf2(a,b)g(a,b)=pf_1(a,b)+qf_2(a,b)g(a,b)=pf1(a,b)+qf2(a,b)．左右两边 aaa 和 bbb 的系数相等，由此列出方程组求得 p,qp,qp,q．根据不等式的同向可加性，将两个已知条件分别乘以 ppp 和 qqq 然后相加，得到的即为 g(a,b)g(a,b)g(a,b) 的范围： pm1+qm2 糖水不等式的应用 例 4在锐角 △ABC\triangle ABC△ABC 中，求证： （1）AB+C+BC+A+CA+B<2\df A{B+C}+\df B{C+A}+\df C{A+B}<2B+CA+C+AB+A+BC<2； （2）c1+c 例 4 证明（1）考虑将分母全部转化为 A+B+CA+B+CA+B+C 以合并不等式左边的三个分式．观察到不等式具有轮换性．在锐角 △ABC\triangle ABC△ABC 中，A,B,C>0A,B,C>0A,B,C>0，且 A AB+C<2AA+B+C,BC+A<2BA+B+C,CA+B<2CA+B+C.\begin{gathered} \fr A{B+C}<\fr{2A}{A+B+C}, \\ \fr B{C+A}<\fr{2B}{A+B+C}, \\ \fr C{A+B}<\fr{2C}{A+B+C}. \\ \end{gathered}B+CA AB+C+BC+A+CA+B<2AA+B+C+2BA+B+C+2CA+B+C=2A+2B+2CA+B+C=2.\bal \fr A{B+C}+\fr B{C+A}+\fr C{A+B}&<\fr{2A}{A+B+C}+\fr{2B}{A+B+C}+\fr{2C}{A+B+C} \\ &=\fr{2A+2B+2C}{A+B+C}=2. \ealB+CA+C+AB+A+BC c1+c \fr c{1+c}<\fr{c+(a+b-c)}{1+c+(a+b-c)}&=\fr{a+b}{1+a+b}\\ &=\fr a{1+a+b}+\fr b{1+a+b}<\fr a{1+a}+\fr b{1+b}. \eal1+cc<1+c+(a+b−c)c+(a+b−c)=1+a+ba+b=1+a+ba+1+a+bb<1+aa+1+bb.